Question

已知点P(2,2),圆，过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.

(1)求点M的轨迹方程;

(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.

Answer

(1) ；(2)直线的方程为，的面积为.

【解析】

求得圆的圆心和半径.

（1）当三点均不重合时，根据圆的几何性质可知，是定点，所以的轨迹是以为直径的圆（除两点），根据圆的圆心和半径求得的轨迹方程.当三点有重合的情形时，的坐标满足上述求得的的轨迹方程.综上可得的轨迹方程.

（2）根据圆的几何性质（垂径定理），求得直线的斜率，进而求得直线的方程.根据等腰三角形的几何性质求得的面积.

圆，故圆心为，半径为.

(1)当C,M,P三点均不重合时,∠CMP=90°,所以点M的轨迹是以线段PC为直径的圆(除去点P,C),线段中点为，，故的轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2(x≠2,且y≠2或x≠0,且y≠4).

当C,M,P三点中有重合的情形时,易求得点M的坐标为(2,2)或(0,4).

综上可知,点M的轨迹是一个圆,轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2.

(2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆.

由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上.又P在圆N上,从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3,所以的斜率为，故的方程为，即.

又易得|OM|=|OP|=，点O到的距离为，，

所以△POM的面积为.