Question

已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___.

Answer

【解析】

设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2, 由余弦定理可得

4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，在双曲线中，

化简为即4c2=4a12+r1r2…③，，再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离

心率的倒数之和的最大值.

设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，

由椭圆和双曲线的定义可知，

设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，

椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2,

∵∠F1PF2=，则∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①

在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，

在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2…③，

，

由柯西不等式得（1+）（）≥（）2

故答案为