Question

在平面直角坐标系xoy中，直线，，设圆C的半径为1，圆心在上.

(1)若圆心C也在直线上，①求圆C的方程；

②过点作圆C的切线，求切线的方程；

(2)若圆在直线截得的弦长为，求圆C的方程.

Answer

（1）①，②或，（2）或

【解析】

（1）①联立求出圆心坐标，再根据半径为即可写出圆的标准方程.②分别讨论斜率不存在和存在时的情况，利用直线和圆相切的关系即可求出切线方程.

（2）首先设出圆心坐标，根据直线截得的弦长为，圆的半径为，得到圆心到的距离为，再利用点到直线的距离公式即可求出圆心坐标和圆的标准方程.

（1）①由题知：.

所以圆心为，圆：.

②当斜率不存在时，为，

圆心到的距离为，符合题意.

当斜率存在时，设切线为：.

，解得，即切线为：.

综上所述，切线为：或.

（2）因为圆心在上，设圆心为.

因为直线截得的弦长为，圆的半径为，

所以圆心到的距离为.

所以，即，或.

所以圆：或，