Question

已知函数（为自然对数的底数）

（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；

（2）求函数的极值；

（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.

Answer

（1）（2）当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（3）的最大值为

【解析】

（1）求出，由导数的几何意义，解方程即可；（2）解方程，注意分类讨论，以确定的符号，从而确定的单调性，得极大值或极小值（极值点多时，最好列表表示）；（3）题意就是方程无实数解，即关于的方程在上没有实数解．一般是分类讨论，时，无实数解，时，方程变为，因此可通过求函数的值域来求得的范围．

（1）由,得．

又曲线在点处的切线平行于轴,

得,即,解得．

（2）,

①当时,,为上的增函数,

所以函数无极值．

②当时,令,得,．

,;,．

所以在上单调递减,在上单调递增,

故在处取得极小值,且极小值为,无极大值．

综上,当时,函数无极小值

当,在处取得极小值,无极大值．

（3）当时,

令,

则直线:与曲线没有公共点,

等价于方程在上没有实数解．

假设,此时,,

又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故．

又时,,知方程在上没有实数解．

所以的最大值为．

解法二:

（1）（2）同解法一．

（3）当时,．

直线:与曲线没有公共点,

等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:

（*）

在上没有实数解．

①当时,方程（*）可化为,在上没有实数解．

②当时,方程（*）化为．

令,则有．

令,得,

当变化时,的变化情况如下表:

减

增

当时,,同时当趋于时,趋于,

从而的取值范围为．

所以当时,方程（*）无实数解, 解得的取值范围是．

综上,得的最大值为．