Question

设正整数数列满足.

(1)若，请写出所有可能的的取值；

(2)求证：中一定有一项的值为1或3；

(3)若正整数m满足当时，中存在一项值为1，则称m为“归一数”，是否存在正整数m，使得m与都不是“归一数”？若存在，请求出m的最小值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）可能取得值为：，，，（2）证明见解析，（3）不存在。

【解析】

（1）利用数列的递推关系，分类讨论，即可得出可能取得的值.

（2）首先设中最小的奇数为，根据题意得到：，再对分奇数和偶数讨论即可.

（3）由题知：中一定有，设，得到，，…….均为的倍数.故不存在正整数m，使得m与都不是“归一数”.

（1）由题知：数列各项均为正整数，

或，解得：或（舍去）.

或，解得：或（舍去）.

或，解得：或.

当时，或，解得：或.

当时，或，解得：或（舍去）.

故可能取得值为：，，.

（2）因为为正整数数列，设中最小的奇数为，

所以为偶数.

所以，此时可能为奇数或偶数.

当为奇数时，则，解得：.

所以或.

当为偶数时，则，解得：.

所以或.

综上所述：中一定有一项的值为或.

（3）由（2）知：中一定有，由题知：

因为，

所以或.

设，则，，…….均为的倍数.

故不存在正整数m，使得m与都不是“归一数”.