Question

抛物线M:的焦点为F，过焦点F的直线l(与x轴不垂直)交抛物线M于点A，B，A关于x轴的对称点为.

(1)求证:直线过定点，并求出这个定点；

(2)若的垂直平分线交抛物线于C，D，四边形外接圆圆心N的横坐标为19，求直线AB和圆N的方程.

Answer

(1)见解析，定点；(2)直线AB:，圆N:

【解析】

(1)设直线AB:()，求出:，令即得定点坐标；

（2）求出,再分类讨论，先求出CD方程为：，再根据线段CD是圆N的直径，求出直线AB和圆N的方程.

(1)设直线AB:()，代入抛物线方程得:，

设，，则，

所以，，

从而:，令得:

，

所以直线过定点.

(2)由(1)知:，

且，

当时，

直线:，

设线段的中点为，则，

所以，所以，

从而CD:即，

上述方程代入得:(*)，

因为CD是的垂直平分线，所以线段CD是圆N的直径，

所以，解得:.

所以直线AB:.此时CD:，时，

方程(*)化简为:，求得，

圆N:；

当时，同理求得AB:，圆N:.

综上，直线AB:，圆N:.