Question

已知展开式的所有二项式系数和为．

（1）求展开式的所有有理项的系数之和；

（2）求展开式的系数最大项．

Answer

（1）；（2）和.

【解析】

由二项式系数和为求得，进而得出二项式展开式的通项为.

（1）由通项可知当取、、时，对应项为有理项，将这些项的系数相加即可得出结果；

（2）令，设展开式中项的最大系数为，由求出自然数的值，由此可得出结果.

所有二项式系数和为，即，得，

该二项式展开式的通项为．

（1）由题可知，展开式的有理项为第项，第项，第项，

则，，，

因此，所有有理项的系数和为；

（2）令，设展开式中项的最大系数为，

则，即，得，解得，

，或.

因此，展开式的系数最大项为第项和第项.