Question

已知，，若关于的方程（为实数）有两个不等的实根，且，则的最小值为_______.

Answer

【解析】

根据的单调性，将问题转化为有两个不同的实数根的问题，利用中间变量构造函数；再利用导数讨论其最值即可.

因为，故成立，

故在R上单调递增，

则方程有两个不等的实根，

等价于有两个不等的实根，

故

反解可得：，

又因为在单调递增，其值域为

故.

综上所述：，

设，

可得，

.

故单调递增，又.

则在单调递减，在单调递增.

故.

故答案为：.