Question

如图，在三棱锥中，，为线段的中点，为线段上一点.

（1）求证：平面平面；

（2）当//平面时，求与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见详解；（2）

【解析】

（1）先证直线垂直平面PAC，从而推出面面垂直；

（2）求出点P到平面BDE的距离，则线面角的正弦值等于.

（1）证明：∵，

∴平面，

又∵平面，

∴，①

∵，D为线段的中点，

∴，②

又，.结合①②可知：

平面，

又∵平面.

∴平面平面.

（2）∵//平面，平面平面.

∴//PA，又D为中点，

∴E为中点.

∵//AP，

从而P到平面的距离h等于A到平面的距离.

∵，

∴平面，

∴.

又，

故与平面所成角的正弦值等于.