Question

设函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当函数有最大值且最大值大于时，求的取值范围.

Answer

（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）.

【解析】

（1）求定义域，求导，对参数进行分类讨论即可；

（2）由（1）知的初步范围，求得最大值，利用导数解不等式即可.

（1）函数的定义域为，

.

当，即时，，函数在上单调递增.

当时，令，解得，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减.

综上所述：

当时，函数在上单调递增，

当时，函数在上单调递增，在上单调递减.

（2）由（1）知，当函数有最大值时，，

且最大值，

此时，

即.

令.

故在上单调递增，且

∴等价于，∴，

故a的取值范围为.