Question

如图，四棱锥中，⊥平面，为的中点，为的中点， ≌，，，接交于．

（1）求证：⊥平面；

（2）求二面角的余弦值

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

(1)根据全等中角度的关系可得,再证明即可证明⊥平面

(2) 以点为坐标原点建立空间直角坐标系,再根据空间向量求解二面角的方法求解即可.

（1）在中,因为是中点,所以,

故,,

因为,所以,

从而有,

故,,

又因为,所以.

又平面,

所以,

又

,平面,

故平面.

（2）以点为坐标原点建立如图所示的坐标系,

则,,,,,

故,,

设平面的法向量,则

解得即.

设平面的法向量,则

解得即.

设二面角的平面角为,则.

又由图可知,为钝角,故.