Question

在中，，且.以所在直线为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系.

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程;

（Ⅱ）已知定点，不垂直于的动直线与轨迹相交于两点，若直线 关于直线对称，求面积的取值范围.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（I）利用正弦定理化简已知条件，根据椭圆的定义求得轨迹方程.（II）设出直线方程为，代入的轨迹方程，写出判别式和韦达定理，根据直线关于轴对称，列方程，化简后求得直线过，求得的表达式，并利用单调性求得面积的取值范围.

【解析】
(Ⅰ)由得：,

由正弦定理

所以点C的轨迹是：以为焦点的椭圆(除轴上的点),其中，则，

故轨迹的轨迹方程为.

(Ⅱ) 由题，由题可知，直线的斜率存在，设的方程为，将直线的方程代入轨迹的方程得:.

由得，，且

∵直线关于轴对称,∴，即.

化简得：,

,得

那么直线过点,,所以面积：

设,,显然，S在上单调递减，

.