Question

已知函数（R）．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若对任意实数，当时，函数的最大值为，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；（Ⅱ）

【解析】

试题（1）求函数的单调区间，实质上就是解不等式得增区间，解不等式得减区间；（2）函数的最大值一般与函数的单调性联系在一起，本题中，其单调性要对进行分类，时，函数在上单调递增，在上单调递减，不合题意，故有，按极值点与0的大小分类研究单调性有最大值．

试题解析：（1）当时，，

则，

令，得或；令，得，

∴函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．

（2）由题意，

（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，不存在实

数，使得当时，函数的最大值为．

（2）当时，令，有，，

①当时，函数在上单调递增，显然符合题意．

②当即时，函数在和上单调递增，

在上单调递减，在处取得极大值，且，

要使对任意实数，当时，函数的最大值为，

只需，解得，又，

所以此时实数的取值范围是．

③当即时，函数在和上单调递增，

在上单调递减，要存在实数，使得当时，

函数的最大值为，需，

代入化简得，①

令，因为恒成立，

故恒有，所以时，①式恒成立，

综上，实数的取值范围是．