Question

点P为棱长是2的正方体的内切球O球面上的动点，点M为的中点，若满足，则动点P的轨迹的长度为(    )

A. B. C. D.

Answer

C

【解析】

根据正方体的性质及,可判断点的轨迹为平面与内切球的交线,即所得小圆的圆周即为动点的轨迹.结合球的几何性质,即可求得小圆的周长,即为动点P的轨迹长度.

根据题意,点P为棱长是2的正方体的内切球O球面上的动点,点M为的中点,设中点为,中点为,如下图所示:

在平面中,

由题意可知,

为在平面内的射影,所以直线在过点且与垂直的平面内

又因为在正方体内切球的球面上

所以点的轨迹为正方体的内切球与过且与垂直的平面相交得到的小圆,即的轨迹为过的平面即为平面与内切球的交线

因为位于平面内,

设到平面的距离为

所以由,可得

代入可得,解得

正方体的内切球半径为

由圆的几何性质可得所截小圆的半径为

所以小圆的周长为

即动点P的轨迹的长度为

故选:C