Question

如图，点P是菱形ABCD所在平面外一点，且平面ABCD，，，.

(1)求证：平面平面PCE；

(2)求二面角的余弦值.

Answer

(1)证明见解析；(2).

【解析】

（1）取PC中点M,连接BD交AC于O,连接OM,EM.根据菱形性质可得,再由即可证明平面PAC,进而利用平行四边形性质可证明,即可得平面PAC,结合平面与平面垂直的判定即可证明平面平面;

（2）以OB,OC,OM所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,由题意可设,写出各个点的坐标.利用向量的数量积求得平面和

平面的法向量,即可利用空间向量数量积的运算求得夹角的余弦值.

（1）证明：取PC中点M,连接BD交AC于O,连接OM,EM.如下图所示:

在菱形ABCD中,,

平面ABCD,平面ABCD,

,

又,PA,平面PAC,

平面PAC,

,M分别是AC,PC的中点,

,,

又,,

,,

四边形OMED是平行四边形,则,

平面PAC,

又平面PCD,

平面平面PCE.

（2）由(1)得平面PAC﹐则OB,OC,OM两两垂直,以OB,OC,OM所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如下图所示

设,则,,,,

,,,

设是平面BPC的一个法向量,则,即,,

设是平面FPC的一个法向量,同理得,

,

由图可知二面角为锐二面角

二面角的余弦值为.