Question

已知椭圆离心率为，四个顶点构成的四边形的面积是4.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线与椭圆C交于P，Q均在第一象限，直线OP，OQ的斜率分别为，，且（其中O为坐标原点）.证明：直线l的斜率k为定值.

Answer

(1)；(2)证明见解析

【解析】

（1）根据离心率与四边形面积,结合椭圆中的关系,即可求得的值,进而求得椭圆的标准方程;

（2）设两个交点P,Q,将直线方程与椭圆方程联立,消去可得关于的一元二次方程.因为两个交点,所以判别式,并用韦达定理表示出.由直线方程和的关系表示出.进而表示出,代入等式中.即可求得斜率的值.

（1）由题意得,,

又,

解得,

所以椭圆C的方程为；

（2）证明：直线l的方程为,点P,Q的坐标分别为,,

由,消去y得,

,

则,,

所以,

因为,

所以,

即,又,

所以,

又结合图象可知,,

所以直线l的斜率k为定值