Question

已知函数，

(1)当时，讨论函数的单调性

(2)当时，，对任意，都有恒成立，求实数b的取值范围.

Answer

(1)在单调递增，在单调递减；(2)

【解析】

（1）先求得定义域及函数的导函数,求得函数极值点.再由,可判断导函数的符号,即可判断函数的单调区间.

（2）将代入,再代入可得解析式.由不等式恒成立,分离参数后构造函数.求其导函数可得.再构造函数,求得.可判断出有唯一的零点,即在处取得最小值.进而结合不等式即可求得b的取值范围.

（1）定义域为

由题知

则,

令解得

当,,

当,﹔当,；

函数在单调递增,在单调递减

（2）将代入,再代入中可得

由恒成立可得恒成立,

即恒成立,

设,则,

,,

当时,,

在上单调递增,且有,,

函数有唯一的零点,且 ,

当,,,单调递减,

当,,,单调递增,

是在定义域内的最小值

,

得,,（*）

令,,

方程（*）等价为,,单调递增,

等价为,,

,,易知单调递增,,

是的唯一零点,

,,

的最小值,

恒成立

的范围是