Question

设点A是抛物线上到直线的距离最短的点，点B是抛物线上异于点A的一点，直线AB与l交于P，过点P作y轴的平行线交抛物线于点C.

（1）求点A的坐标；

（2）求证：直线BC过定点；

（3）求面积的最小值.

Answer

（1）

（2）见解析.

（3）

【解析】

（1）根据抛物线方程，设，得其到直线的距离，再用二次函数求解.

（2）设，表示直线的坶与联立，求得，则，可得直线的直线方程，整理得：可得定点；

（3）根据直线的过定点，设其方程为，与抛物线方程联立可得，由弦长公式得 ，点A到线的距离，则由求解.

（1）设，则，当取得最小值，则；

（2）设，可得联立

得，

所以

所以，

所以直线，

整理得：，

则过定点；

（3）可设直线BC为，与抛物线联立可得，

设，，

则，

又因为点A到直线BC的距离，

所以面积为，

当时，此时.