Question

已知函数.

（1）当时，解方程.

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）或.

【解析】

（1）根据对数运算法则化简原方程得，再令，则原方程化为整理得求解可得原方程的解，注意对数函数的定义域；

（2）由化简不等式为，令，当时，得，所以当时，恒成立，等价于在时恒成立，再令，证明函数在上单调递增，并得出在上的最值，建立关于的不等式，可得实数的取值范围.

（1）当时，，，

所以方程化为且，即且，，

所以，即，

令，则原方程化为整理得，

解得或，即或，解得或，当时，，，故舍去，

故原方程的解为：；

（2）由得，即，

令，当时，，所以，

所以当时，恒成立，等价于当时，恒成立，即在时恒成立，

令，设，，

所以，所以在上单调递增，

所以，所以，所以，

解得或；

所以实数的取值范围是或.