Question

设函数.

（1）当时，求函数的值域；

（2）若对任意，恒有，求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）若，则，根据和得到分段函数，进而可得的值域；

（2）对任意，恒有，即恒成立，，

则对任意，恒成立，构造函数和函数讨论即可.

（1）当时，，即

当时，，

此时，

当时，，

此时，

综上：的值域为.

（2）对任意，恒有，即恒成立，所以，

所以对任意，恒成立，

设，对任意，恒有，

因为开口向上，其对称轴为的二次函数，则在区间上单调递增，

所以，解得，

故对任意，恒有时的取值范围为

设，对任意，恒有，因为开口向上，其对称轴为的二次函数，

当，即时，在区间上单调递增，

所以，解得，所以，

当，即时，在区间上单调递减，

所以，解得，所以，

当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以 ，解得或（舍）

所以，故对任意，，时的取值范围为

综上对任意，恒有时，的取值范围为.