Question

已知函数为奇函数.

（1）求实数的值；

（2）用定义法讨论并证明函数的单调性.

Answer

（1） （2）在定义域上为减函数，证明见解析

【解析】

(1)根据奇函数的定义，得出，化简得到，从而得到或1，再判断函数定义域是否关于原点对称，即可确定实数的值；

(2) 令，利用作差法比较，的大小，再根据对数函数的单调性得，即，结合函数单调性的定义，即可判断函数的单调性.

【解析】
（1）由及函数为奇函数可知，

有，得

有，得，得，故有或1，

①当时，，此时函数定义域为，不关于原点对称，不可能是奇函数，

②当时，，令，可得，故此时函数的定义域为关于原点对称，函数为奇函数.

由上知.

（2）由（1）知，

令，有，

∵，

∴，，，

∴，可得，即，

利用对数函数的单调性得，即，

故函数在定义域上为减函数.