Question

设数列的前n项和为,已知,,.

(1)证明:为等比数列,求出的通项公式;

(2)若,求的前n项和,并判断是否存在正整数n使得成立?若存在求出所有n值;若不存在说明理由.

Answer

(1)证明见解析,;(2)不存在,理由见解析.

【解析】

(1)根据等比数列的定义即可证明为等比数列，再根据和的关系 ，即可求出的通项公式；

(2)根据，可采取错位相减法求出的前n项和，然后代入得，，构造函数()，利用其单调性和零点存在性定理即可判断是否存在．

(1)∵

∴，

因为，所以可推出．

故，即为等比数列．

∵，公比为2

∴，即，∵，当时，，也满足此式，

∴；

(2) 因为，

∴，两式相减得:

即，代入，得．

令()，在成立，

∴，为增函数，

而，所以不存在正整数n使得成立．