Question

给定椭圆C:(),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C的离心率,点在C上.

(1)求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程;

(2)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点,过点P作直线,使得,与椭圆C都只有一个交点,且,分别交其“卫星圆”于点M,N,证明:弦长为定值.

Answer

(1),;(2)证明见解析.

【解析】

(1)根据题意列出再结合即可解出，，从而得到椭圆C的方程和其“卫星圆”方程；

(2) 根据分类讨论，当有一条直线斜率不存在时(不妨假设无斜率)，可知其方程为或，这样可求出；当两条直线的斜率都存在时，设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，与椭圆方程联立，由可得，所以线段应为“卫星圆”的直径，即，故得证．

(1)由条件可得:

解得，

所以椭圆的方程为，

卫星圆的方程为

(2)①当，中有一条无斜率时，不妨设无斜率，

因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，

当方程为时，此时与“卫星圆”交于点和，

此时经过点且与椭圆只有一个公共点的直线是

或，即为或，

∴

∴线段应为“卫星圆”的直径，

∴

②当，都有斜率时，设点，其中，

设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，

则，

消去y得到，

∴

∴

所以，满足条件的两直线，垂直．

∴线段应为“卫星圆”的直径，∴

综合①②知：因为，经过点，又分别交“卫星圆”于点，且，垂直，所以线段是“卫星圆”的直径，∴为定值．