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已知函数,为的导函数. (1)求证:在上存在唯一零点; (2)求证:有且仅有两个...

已知函数,为的导函数.

(1)求证:在上存在唯一零点;

(2)求证:有且仅有两个不同的零点.

 

(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】 (1) 设，然后判断函数在上的符号，得出的单调性，再利用零点存在定理判断在上是否存在唯一零点即可； (2) 分，，和三种情况分别考虑的零点存在情况，从而得证． (1)设， 当时，，所以在上单调递减， 又因为， 所以在上有唯一的零点，所以命题得证． (2) ①由(1)知：当时，，在上单调递增; 当时，，在上单调递减; 所以在上存在唯一的极大值点 所以 又因为 所以在上恰有一个零点． 又因为 所以在上也恰有一个零点． ②当时，， 设， 所以在上单调递减，所以 所以当时，恒成立 所以在上没有零点． ③当时， 设， 所以在上单调递减，所以 所以当时，恒成立 所以在上没有零点． 综上，有且仅有两个零点．
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考点分析：
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给定椭圆C:(),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C的离心率,点在C上.

(1)求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程;

(2)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点,过点P作直线,使得,与椭圆C都只有一个交点,且,分别交其“卫星圆”于点M,N,证明:弦长为定值.

 

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《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du);阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵中,.

(1)求证:四棱锥为阳马;

(2)若,当鳖膈体积最大时,求锐二面角的余弦值.

 

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设数列的前n项和为,已知,,.

(1)证明:为等比数列,求出的通项公式;

(2)若,求的前n项和,并判断是否存在正整数n使得成立?若存在求出所有n值;若不存在说明理由.

 

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在,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且,若,.

(1)求;

(2)求的面积S.

 

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已知.

(1)求函数的最小正周期及单调递减区间;

(2)求函数在区间的取值范围.

 

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