Question

如图所示，在棱长为1的正方体中，点在上移动，点在上移动，，连接.

（1）证明：对任意，总有平面；

（2）当为何值时，的长度最小？

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）作，交于点，作，交于点，连接,根据平行线成比例定理，结合已知，可以证明出四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质，线面平行的判定定理证明即可；

（2）根据平行线成比例定理，通过计算可以求出的值，利用勾股定理求出的表达式，运用配方法求出的长度最小值.

（1）证明：如图，作，交于点，作，交于点，连接.

因为是正方形，所以有，因此有，因为，所以，同理可证明，因此，则四边形为平行四边形，.又平面，平面，

平面.

（2）由（1）知四边形为平行四边形，.

，

，

即，

故当时，的长度有最小值，最小值为.