Question

如图，已知⊙O的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B的一点，平面ABC，且，点M为线段VB的中点.

（1）求证：平面VAC；

（2）若AB与平面VAC所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）根据线面垂直的判定定理即可证明平面VAC；

(2)由AB与平面VAC所成角的余弦值为，求出，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值.

(1)证明：因为平面ABC，平面ABC，

所以，

又因为点C为圆O上一点，且AB为直径，

所以，

又因为VC，平面VAC，，

所以平面VAC.

(2)由(1)知平面VAC，

所以AB与平面VAC的所成角就是，

在，，，

.

由(1)得，，，分别以AC，BC，VC，

所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz如图：

则，，，

设平面VAC的法向量，，，

设平面VAM的法向量，

由，令，

得，.

设二面角M-VA-C的平面角为，

所以，所以所求二面角的余弦值为.