Question

已知函数.

（1）讨论的单调区间；

（2）当且，求证：.

Answer

（1）见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）函数定义域为，求出导函数，通过，，判断导函数符号，求解函数的单调区间；（2）运用分析法转化证明，要证，只需证，法一中要证，只需证：，令，求导判断导数值符号即可；法二中只需证，设，，在上恒成立，求出，的最值进行比较即可；法三中只需证：.设，判断，函数单调递增，，证明即可.

（1）函数定义域为，

.

①若时，则，在上单调递减；

②若时，，令或.

又，

在上单调递减，在上单调递增；

③若时，，

令或.

又，

在上单调递减，在上单调递增；

（2）法一：，，

要证，只需证，

只需证：，

只需证：，设，

即，

在上单调递减，所以，即原不等式成立.

法二：要证，只需证，

，只需证，

设，，

在上恒成立，

所以在上单调递增.

所以，

，

所以在上单调递增，

所以，

所以当时，，

即原不等式成立.

法三：，.

要证：成立，

只需证：.

设，

，

所以在上单调递增，

所以.

即原不等式成立.