Question

已知二次函数的图象过点，且与轴有唯一的交点.

（1）求的表达式；

（2）设函数，若上是单调函数，求实数的取值范围；

（3）设函数，记此函数的最小值为，求的解析式.

Answer

（1）（2）或（3）见解析

【解析】

试题（1）由已知条件分别求出的值，得出解析式；（2）求出函数的表达式，由已知得出区间在对称轴的一侧，进而求出的范围；（3）函数，对称轴，图象开口向上，讨论不同情况下在上的单调性，可得函数的最小值的解析式．

试题解析：（1）依题意得，，

解得，，，从而；

（2），对称轴为，图象开口向上

当即时，在上单调递增，

当即时，在上单调递减，

综上，或

（3），对称轴为，图象开口向上

当即时，在上单调递增，

此时函数的最小值

当即时，在上递减，

在上递增

此时函数的最小值；

当即时，在上单调递减，

此时函数的最小值；

综上，函数的最小值 .