Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到左准线的距离为5.动直线与椭圆交于，两点（在第一象限）.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设，，且，求当面积最大时，直线的方程.

Answer

(1)；(2).

【解析】

(1)列出方程，然后解出即可

(2)设直线的方程为：，然后与椭圆联立消元得出和，再结合即可得出，从而得出，然后用基本不等式求解

(1)设椭圆的半焦距为，得 解得，，则，

所以椭圆的标准方程为.

(2)直线与轴不垂直，设直线的方程为：，

联立，化为

由得

∴，

∵

∴，

∴，∴

∴

∵在第一象限内，∴

∴，∵，∴

∴，当且仅当时取等号.

此时满足.

此时直线的方程为：.