Question

设各项均为正数的数列的前项和为，已知，且对一切都成立.

(1)当时.

①求数列的通项公式；

②若，求数列的前项的和；

(2)是否存在实数，使数列是等差数列.如果存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer

(1)①；②；(2)存在，0.

【解析】

(1) ①时，可得到，即，然后用累乘法可得，进而可得出数列是首项为1，公比为2的等比数列，，②用错位相减法算出即可

(2)先由算出，然后再证明即可

(1)①若，因为

则，.

又∵，，∴，

∴，

化简，得. ①

∴当时，. ②

②－①，得，∴.

∵当时，，∴时上式也成立，

∴数列是首项为1，公比为2的等比数列，.

②因为，∴

所以

所以

将两式相减得：

所以

(2)令，得.令，得.

要使数列是等差数列，必须有，解得.

当时，，且.

当时，，

整理，得，，

从而，

化简，得，所以.

综上所述，，

所以时，数列是等差数列.