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已知函数,为的导函数. (1)证明:在定义域上存在唯一的极大值点; (2)若存在...

已知函数,的导函数.

1)证明:在定义域上存在唯一的极大值点;

2)若存在,使,证明:.

 

(1)见解析;(2)见解析. 【解析】 (1)对函数求导得,当时, ;当时,,所以在上递减,又因为,,判断出单调性,即可证明在定义域上存在唯一的极大值点. (2)假设存在,使,代入函数得,整理得.设新函数,求导结果大于,在上递增,再设,则,即,,整理可得,根据对数均值不等式得出. (1), 当时,,,, “”不能同时取到,所以; 当时,,所以在上递减, 因为,, 所以在定义域存在唯一,使且; 当时,;当时,, 所以是在定义域上的唯一极值点且是极大值点. (2)存在,使,即, 得. 设,则,在上递增, 不妨设,则,即,, 所以,得, 根据对数均值不等式,可得,.
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如图,楔形几何体由一个三棱柱截去部分后所得,底面侧面,楔面是边长为2的正三角形,点在侧面的射影是矩形的中心,点上,且.

1)证明:平面

2)求楔形几何体的体积.

 

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2019924日国家统计局在庆祝中华人民共和国成立70周年活动新闻中心举办新闻发布会指出,1952~2018年,我国GDP679.1亿元跃升至90.03万亿元,实际增长174倍;人均CDP119元提高到6.46万元,实际增长70.全国各族人民,砥砺奋进,顽强拼搏,实现了经济社会的跨越式发展.特别是党的十八大以来,在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下,党和国家事业取得历史性成就、发生历史性变革,中国特色社会主义进入新时代.如图是全国2012年至2018GDP总量(万亿元)的折线图.

注:年份代码1~7分别对应年份2012~2018.

1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合与年份代码的关系,请用相关系数加以说明;

2)建立关于的回归方程(系数精确到0.01),预测2019年全国GDP的总量.

附注:

参考数据:.

参考公式:相关系数

回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.

 

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