Question

已知椭圆：的一个焦点为，离心率为.

（1）求的标准方程；

（2）若动点为外一点，且到的两条切线相互垂直，求的轨迹的方程；

（3）设的另一个焦点为，自直线：上任意一点引（2）所求轨迹的一条切线，切点为，求证：.

Answer

（1）（2）（3）证明见解析

【解析】

（1）根据离心率和焦点坐标可求得的值，进而得到椭圆的方程；

（2）设，切点分别为，，对点的位置进行讨论，即切线的斜率不存在和存在时；当设切线方程为代入椭圆的方程得到关于的二次方程，利用直线互相垂直得到的关系，从而得到点的轨迹的方程；

（3）设，将，都用进行表示，即可得答案.

（1）设，

由题设，得，，所以，，

所以的标准方程为.

（2）设，切点分别为，，

当时，设切线方程为，

联立方程，得，

消去，得，①

关于的方程①的判别式，

化简，得，②

关于的方程②的判别式，

因为在椭圆外，

所以，即，所以，

关于的方程②有两个实根，分别是切线，的斜率.

因为，所以，即，化简为.

当时，可得，满足，

所以的轨迹方程为.

（3）如图，，设，

，

，

所以，即.