Question

已知函数.

（1）判断的奇偶性并说明理由；

（2）求证：函数在上是增函数；

（3）若，求实数a的取值范围.

Answer

（1）奇函数，理由见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）先判断定义域是否关于原点对称，再根据与的关系即可得解；

（2）根据单调性的定义证明即可；

（3）根据函数是奇函数可转化条件为，再根据函数的单调性和定义域可得，解不等式即可得解.

（1）是奇函数，理由如下：

∵关于原点对称且均有，

∴是奇函数.

（2）证明：设任意，且，

则

，

易知，

又

∴，，

∴，

即，得，

∴函数在上是增函数.

（3）∵，即，

又 是在上奇函数，则，

又在上是增函数，

∴，

解得.