Question

已知.

（1）求的解析式；

（2）求时，的值域：

（3）设，若对任意的，总有恒成立，求实数a的取值范围.

Answer

（1）；（2）当时的值域为；当时的值域为；（3）.

【解析】

（1）使用换元法令即可得解；

（2）令，则，根据的取值结合一次函数、二次函数的性质即可得解.

（3）转化条件为.令得，根据的范围讨论时函数的最值即可得解.

（1）设，则，所以

所以；

（2）设，，则，

所以

当时，，的值域为

当时，

若，对称轴，的值域为，

若，对称轴，在上单调递增，在上单调递减，的值域为.

综上，当时的值域为；当时的值域为.

（3）化简得，

对任意总有，

∴在满足.

设，则，

当即时在区间单调递增，

所以，即，所以，则

当时，下证函数在区间单调递增：

任取,

,

∵，，

∴，∴，

又 ∴即函数在区间单调递增，

又 时，恒成立，∴满足要求.

综上的取值范围为.