Question

已知函数是奇函数.

（1）求实数的值；

（2）用定义法证明函数在上是减函数；

（3）若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

(1) ;(2)证明见解析；(3)

【解析】

（1）根据函数是奇函数，由，可得的值；

（2）用定义法进行证明，可得函数在上是减函数；

（3）根据函数的单调性与奇偶性的性质，将不等式进行化简求值，可得k的范围.

【解析】
(1)由函数是奇函数，可得：，

即：，；

（2）由(1)得：，任取,且，

则，

，，即：，

，即在上是减函数；

（3）是奇函数，不等式恒成立等价为

恒成立，

在上是减函数，,恒成立，

设，可得当时，恒成立，

可得，解得，

故的取值范围为：.