Question

已知函数，

（1）当时，若且，证明：；

（2）当时，若恒成立，求的最大值.

Answer

(1)证明见详解；(2)

【解析】

（1）将化为分段函数，利用函数得性质与图像进行证明可得结论；

（2）设，，由当时，若恒成立，列出关于的不等式组，可得的最大值.

【解析】
（1）由，可得

，可得其对称轴，

其对称轴为

易得：设当时候，；

当，由函数单调性可得不存在，且；

当时，设关于的对称点为，则，易得与函数的大小和开口方向一致，对称轴不同，

可得，且此时，由，此时，

综上可得：若且，

（2）设，，由时，若恒成立，可得，可得，得①

同理可得，可得，

可得 ②

得，

可得的最大值为.