Question

已知是定义在上的奇函数，且.若对任意，都有.

（1）证明：在定义域为增函数

（2）若，求实数的取值范围；

（3）若不等式对所有和都恒成立，求正实数的取值范围.

Answer

（1）证明见解析（2）（3）

【解析】

（1）根据单调性的定义，设任意的，，且，然后作差可以得到，这样根据条件便可得出，从而说明在上为增函数；

（2）由（1）便可由得到，解该不等式组即可得出实数的取值范围；

（3）由（1）可得，从而对任意都恒成立，从而有，解该不等式组即可得出实数的取值范围．

【解析】
（1）设任意，满足，由题意可得

，

在定义域上为增函数.

（2）由（1）知，，

即的取值范围为.

（3）由（1）知对任意都恒成立

即对任意都恒成立

，