Question

已知函数，其中.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若关于的不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围；

（3）若函数有个不同的零点，求实数的取值范围.

Answer

（1）单调减区间是，单调增区间是，（2）（3）

【解析】

（1）化简得到，分别计算单调性得到答案.

（2）化简得到恒成立，计算函数的最大值得到答案.

（3）化简得到，确定在和上都各有个不同的零点，计算得到答案.

（1）当时，

当时，，

所以在上单调递减，在上单调递减.

当时，，

所以在上单调递增.

因为函数的图象在上不间断，

所以的单调减区间是，单调增区间是.

（2）对任意恒成立.

因为，，所以，

故不等式可化为，即，

所以问题转化为不等式对任意恒成立.

又在上单调递减，

所以，

所以.

（3），其中.

显然，当时，至多有个不同的零点，且当时，

至多有个不同的零点，

又有个不同的零点，

所以在和上都各有个不同的零点，

所以且即

又，解得，

所以实数的取值范围是.