Question

定义在上的函数满足：对任意实数、，总有，且当时，.

（1）判断的单调性；

（2）设，，若，试确定的取值范围.

Answer

（1）减函数，证明见解析；（2）.

【解析】

（1）先令，，求出，再令得出，进而得出当时，，由此得出对任意的，，然后任取，利用单调性的定义结合等式即可证明出函数在上的单调性；

（2）由题意可知，集合表示一个以原点为圆心、半径等于的圆面（不包含边界），集合表示一条过点的直线．根据圆和直线相切或相离，可得出关于实数的不等式，解出即可.

（1）先令，，则，由题意得，，

令，则，，，

设，则，则，所以.

由上可知，对任意的，.

任取、且，则，此时，

，则，

因此，函数在上为减函数；

（2）表示一个以原点为圆心、半径等于的圆面（不包含边界），

表示一条过点的直线.

，则圆和直线相切或相离，故有，整理得，解得.

因此，实数的取值范围是.