Question

已知（，为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数在内单调递增或单调递减；②如果存在区间，使函数在区间上的值域为，那么称，为闭函数；

请解答以下问题：

(1) 求闭函数符合条件②的区间；

(2) 判断函数是否为闭函数？并说明理由；

(3)若是闭函数，求实数的取值范围；

Answer

1)2) 函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数3)

【解析】

【解析】
(1) 先证符合条件①：对于任意，且，有

，，故是上的减函数．由题可得：则，而，，又，，所求区间为

(2) 当在上单调递减，在上单调递增；（证明略）所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数

（3）易知是上的增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间为，则；故是的两个不等根，即方程组为：

有两个不等非负实根；

设为方程的二根， ，

解得：的取值范围．