Question

已知动点到点的距离比到直线的距离小，设点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过曲线上一点（）作两条直线，与曲线分别交于不同的两点，，若直线，的斜率分别为，，且.证明：直线过定点.

Answer

（1）． （2）证明见详解.

【解析】

（1）将描述的轨迹性质，转化为抛物线的定义，据此写出曲线方程；

（2）设出直线AB方程，利用，得到直线AB方程中系数之间的关系，从而证明直线恒过定点.

（1）由题意可知，到点的距离比到直线的距离小，

则：动点到点的距离与到直线的距离相等，

故：点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，

所以曲线的方程为．

（2）因为点M在抛物线上，故可知，

设点，，直线的方程为：，

联立，得，

所以，

所以；

因为，

即，

所以，

等价于，所以或

当时，直线的方程：

直线过定点与重合，舍去；

当时，直线的方程：

直线过定点，所以直线过定点．