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已知函数的导函数为. (1)证明:在区间存在唯一零点; (2)若对任意,恒成立,...

已知函数的导函数为.

1)证明:在区间存在唯一零点;

2)若对任意恒成立,求的取值范围.

 

(1)证明见详解;(2) 【解析】 (1)利用求导法则,得,再利用零点存在性定理即可证明; (2)将恒成立问题,转化为函数的最值问题,利用导数研究函数的单调性,从而求得最值即可. (1),则, 因为与在均为增函数,故在为增函数, 又,且,则, 结合零点存在性定理知:在区间存在唯一零点; (2)构造函数,,由题意知, ①当时,,与题意矛盾,舍去; ②当时,,符合题意; ③当时,,为增函数, 当时,即在单调递减, 当时,即在单调递增, 则, 要使对任意恒成立,即需使, 即,解得; 综上所述,的取值范围为.
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考点分析:
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已知动点到点的距离比到直线的距离小,设点的轨迹为曲线.

1)求曲线的方程;

2)过曲线上一点)作两条直线与曲线分别交于不同的两点,若直线的斜率分别为,且.证明:直线过定点.

 

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如图,在直四棱柱中,底面为等腰梯形,,且为棱中点,为棱中点.

1)证明:平面

2)设四棱锥的体积为,直四棱柱的体积为,求的值.

 

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已知数列满足.

1)求数列的通项公式;

2)设,数列的前项和为,求证:.

 

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通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑同桌,得到如下列联表:

 

男生

女生

合计

挑同桌

30

40

70

不挑同桌

20

10

30

总计

50

50

100

 

1)从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本,现从这5名学生中随机选取3名做深度采访,求这3名学生中恰有2名挑同桌的概率;

2)根据以上列联表,是否有以上的把握认为性别与在选择座位时是否挑同桌有关?

下面的临界值表供参考:

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

 

(参考公式:,其中.

 

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已知双曲线)的左、右焦点分别为,过的直线分别交双曲线的两条渐近线于点,若是线段的中点,且,则双曲线的离心率为______.

 

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