Question

已知函数的导函数为.

（1）证明：在区间存在唯一零点；

（2）若对任意，恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）证明见详解；（2）

【解析】

（1）利用求导法则，得，再利用零点存在性定理即可证明；

（2）将恒成立问题，转化为函数的最值问题，利用导数研究函数的单调性，从而求得最值即可.

（1），则，

因为与在均为增函数，故在为增函数，

又，且，则，

结合零点存在性定理知：在区间存在唯一零点；

（2）构造函数，，由题意知，

①当时，，与题意矛盾，舍去；

②当时，，符合题意；

③当时，，为增函数，

当时，即在单调递减，

当时，即在单调递增，

则，

要使对任意恒成立，即需使，

即，解得；

综上所述，的取值范围为.