Question

如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，且为棱中点，为棱中点.

（1）证明：平面；

（2）求锐二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析

（2）

【解析】

(1) 取的中点,连接,再证明即可.

(2) 以,,分别作为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,再利用空间直角坐标中向量的方法求解二面角的余弦值即可.

（1）证明：取的中点,连接,

因为为棱中点,所以,

又因为,所以；

因为,所以,

故四边形为平行四边形,所以.

因为平面,平面,

所以平面.

（2）【解析】
等腰梯形中,连接,

因为,所以；

中,由余弦定理得,所以,

故可以,,分别作为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,则

,,,,

设为平面的一个法向量,

则

可取,则,

取平面的一个法向量为,

所以,

即锐二面角的余弦值为.