Question

已知动圆P与圆：内切，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过曲线上一点（）作两条直线，与曲线分别交于不同的两点，，若直线，的斜率分别为，，且.证明：直线过定点.

Answer

（1）

（2）证明见解析

【解析】

(1)根据题意分析可得动圆圆心的轨迹为抛物线,再根据抛物线的几何意义求解方程即可.

(2) 设点,,直线的方程为：,联立直线与抛物线的方程,求得韦达定理代入求得或,再分析定点即可.

【解析】
（1）由题意可知,动圆圆心到点的距离与到直线的距离相等,所以点的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,所以曲线的方程为．

（2）易知,设点,,直线的方程为：,

联立,得,所以,所以

因为,即,

所以,所以,所以或

当时,直线的方程：过定点与重合,舍去；

当时,直线的方程：过定点,所以直线过定点．