Question

如图，四棱锥中，底面为菱形，，，点为的中点.

（1）证明：；

（2）若点为线段的中点，平面平面，求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由正三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得结论；（2）由（1）知，结合面面垂直的性质可得，平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量取平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

（1）连接，

因为，，所以为正三角形，又点为的中点，所以.

又因为，为的中点，所以.

又，所以平面，又平面，所以.

（2）由（1）知.又平面平面，交线为，所以平面，

以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，

设平面的一个法向量为，

可得得，

由（1）知平面，则取平面的一个法向量，

，故二面角的余弦值为.