Question

己知;

(1)讨论函数的单调性;

(2)当)时，函数有两个零点，证明:.

Answer

(1)见解析（2）见解析

【解析】

（1）讨论的零点与的关系，判断出的符号，即可得到函数的单调区间；

（2）根据的单调性判断的取值范围，构造函数，利用单调性得出，判断的符号得出的大小关系，从而得到结论.

（1）

①若 ，在上单调递增；

②若

当时，，所以在单调递增，在单调递减；

当时，，所以在单调递增；

（2）由（1）的讨论可知当时，在单调递增，在单调递减，且，，所以两个零点，

①当时，，所以，显然；

②当时，，所以，

令

因为，所以，所以在上单调递减，）

又，所以<0，即，

又因为，在单调递增，

所以，所以，

即，.

而

所以，即

，命题得证.