Question

已知椭圆的左、右焦点分别为、，且两焦点的距离为，椭圆上一点与两焦点构成的三角形的周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线交椭圆于、两点，若，求直线的方程.

Answer

（1）；（2）或.

【解析】

（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，根据题意可得、，可计算出的值，进而可得出椭圆的标准方程；

（2）由题意可知，直线不能与轴垂直，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由，得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理求出实数的值，即可得出直线的方程.

（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，

由题意可得，解得，，

因此，椭圆的标准方程为；

（2）由题意可知，直线不能与轴垂直，

设直线的方程为，设点、，

将直线的方程与椭圆的标准方程联立，

消去并整理得，

由，解得或.

由韦达定理得，，

，则，且，同理，

，解得，满足.

综上所述，直线的方程为或.