Question

已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）当，，且，关于的方程有唯一实数解，求实数的值.

Answer

（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.

【解析】

（1）将代入函数的解析式，求出该函数的定义域与导数，利用导数能求出函数的单调增区间与减区间；

（2）由题意知，方程有唯一实数解，由参变量分离法得知方程有唯一解（其中），构造函数，利用导数研究函数的单调性与极值，利用数形结合思想可得出正实数的值.

（1）当时，，定义域为，

.

当时，；当时，.

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）当，时，，

由于，由题意知，方程有唯一实数解，则方程有唯一解，

构造函数，其中，则，令，得.

因为函数在其定义域上为减函数 ，

当时，；当时，.

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

所以，函数的极小值为，作出函数和的图象如下图所示：

，则，由图象可知，当时，即当时，直线与函数的图象只有一个交点，因此，.