Question

已知在平面直角坐标系中，中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C与椭圆的离心率相同，且椭圆C短轴的顶点与椭圆E长轴的顶点重合.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l与椭圆E有且仅有一个公共点，且与椭圆C交于不同两点A，B，求的最大值.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）先求出椭圆的长轴及离心率，进而可得到椭圆C的短轴和离心率，进而可求得椭圆C的标准方程；

（2）若直线的斜率不存在，易知直线与椭圆相切，不符合题，从而可知直线的斜率存在，设出直线的方程，与椭圆联立，得到关于的一元二次方程，结合，可得，然后将直线的方程与椭圆的方程联立，得到关于的一元二次方程，进而求得弦长的表达式，结合，可求得弦长的最大值.

（1）由题意，椭圆的长轴长为4，离心率为，

设椭圆的方程为，则椭圆的短轴长为，即，离心率为，解得，故椭圆的方程为.

（2）若直线的斜率不存在，则直线方程为，此时直线与椭圆相切，不满足题意，故直线的斜率存在，设其方程为，

联立，消去得，，

则，整理得，

联立，消去得，，

则，整理得，显然成立，

且，，

则，

整理得，

又因为，所以，

设，则，，

因为，当且仅当时，等号成立，所以，此时，即时，取得最大值 .