Question

长方形中，，是中点（图1）.将沿折起，使得（图2）在图2中:

 

（1）求证:平面平面；

（2）在线段上是否存点，使得二面角的余弦值为，说明理由.

Answer

（1）证明见解析（2）存在，理由见解析

【解析】

(1)利用勾股定理与线面垂直的性质证明平面即可.

(2) 以为坐标原点,为轴,为轴,过作平面的垂线为轴,建立空间直角坐标系. 设,再根据二面角的向量方法,分别求解面的法向量,再根据法向量的夹角求解即可.

（1）在长方形中,连结,因为,是中点,

所以,从而,

所以

因为,,

所以平面.

因为平面,

所以平面平面.

（2）因为平面平面,交线是,

所以在面过垂直于的直线必然垂直平面.

以为坐标原点,为轴,为轴,过作平面的垂线为轴,

建立空间直角坐标系.

则,,,.设,则.

设是平面的法向量,

则,即,取,

平取面的一个法向量是.

依题意,

即,解方程得,

因此在线段上存点,使得二面角的余弦值为.